根号2等于多少，怎么算（过程全解析）

[ 紅豆blog ] 更先，必须解释一下，数学中，出現指数值的指数值时，测算次序：指数值越越高越优先选择。比如：

如题：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

更先，必须解释一下，数学中，出現指数值的指数值时，测算次序：指数值越越高越优先选择。比如：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

先测算3^2=9，再测算4^9=262144。

Ok，返回主题。

一个常常被提及的解释方式 是那样的：

令

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

那麼，无限再加一层，還是无限，相当于原先的数(∞ 1=∞），得

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

“斜眼法”，即得x=2和x=4。

一个关系式，为什么会有两个解呢？难题在哪里？并且一个无限嵌套循环的根号二次方，收敛性吗？不容易越来越大么？

下列是详细解释。

考虑到以下数列：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

那麼：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

原难题就转换为一个数列极限的难题。

要调查一个数列的极限，一般分二步：

之一，明确極限是不是存有；第二，测算極限。而之一步一般 包含两一歩，“单调性 有界性”：

更先，数列的有界性：

显而易见，a0,a1,a2,这些都低于2，假定对an-1,有an-1<2,那麼

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

数学归纳法，得知an<2恒成立，同样，用相近的数学归纳法，得知an≥1。因此

数列an有限。

第二，数列的单调性：做图：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

知

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

因此

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

单调性创立。数列an单调递增。

综上所述，an单调递增有極限，设極限为x。依据递推关联：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

两侧取極限，得

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

做图：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

得x=2或x=4。又1≤x≤2，知x=2。（尽管测算式一样，立足点不一样。一个是根据数列的极限，另一个则是根据“无限 1=无限”）

结束。

留一个小难题：

根号二的无限根号二次方，到底等于多少？

当a处在哪些范畴的情况下，上式左侧相当于一个比较有限值？这一值多少钱呢？